Question

【題目】如圖，∠MAN＝90°，點C在邊AM上，AC＝2，點B為邊AN上一動點，連接BC，△A′BC與△ABC關于BC所在的直線對稱，點D，E分別為AB，BC的中點，連接DE并延長交A′C所在直線于點F，連接A′E，當△A′EF為直角三角形時，AB的長為_____．

Answer 1

【答案】或2．

【解析】

當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：①當∠A'EF＝90°時，如圖1，根據對稱的性質和平行線可得：A'C＝A'E＝2，根據直角三角形斜邊中線的性質得：BC＝2A'B＝4，最后利用勾股定理可得AB的長；②當∠A'FE＝90°時，如圖2，證明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝2．

解：當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當∠A'EF＝90°時，如圖1，

∵△A′BC與△ABC關于BC所在直線對稱，

∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，

∵點D，E分別為AB，BC的中點，

∴D、E是△ABC的中位線，

∴DE∥AB，

∴∠BDE＝∠MAN＝90°，

∴∠BDE＝∠A'EF，

∴AB∥A'E，

∴∠ABC＝∠A'EB，

∴∠A'BC＝∠A'EB，

∴A'B＝A'E，

Rt△A'CB中，∵E是斜邊BC的中點，

∴BC＝2A'E，

由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，

∴AE′＝，

∴AB＝；

②當∠A'FE＝90°時，如圖2，

∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，

∴∠ACF＝90°，

∵△A′BC與△ABC關于BC所在直線對稱，

∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC＝2；

綜上所述，AB的長為或2；

故答案為：或2．