Question

如圖，已知點A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四邊形ABCD的周長為10cm．圖中陰影部分的面積為（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2π

  3

  -

  3

• C、2

  3

• D、4

  3

Answer 1

分析：由AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，得到∠1=∠2=∠3=30°，∠B=60°，于是有AB=AD=DC，且∠BAC=90°，得到BC為直徑，設圓心為O，AB=x，則BC=2AB=2x，∠4=2∠1=60°，然后利用四邊形ABCD的周長為10cm，可求出半徑；而S_陰影部分=S_扇形OAD-S_△OAD，利用扇形的面積公式：S=

nπR2

360

和等邊三角形的面積分別計算它們的面積即可．

解答：解：如圖，
∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠1=∠2=∠3，
而∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=∠3=30°，∠B=60°，
∴AB=AD=DC，且∠BAC=90°，
∴BC為直徑，設圓心為O，AB=x，則BC=2AB=2x，∠4=2∠1=60°，
又∵四邊形ABCD的周長為10cm，
∴x+x+x+2x=10，解得x=2，即⊙O的半徑為2，
連OA，OD，
∴S_陰影部分=S_扇形OAD-S_△OAD=

60π×4

360

-

3

4

×2²=

2π

3

-

3

．
故選B．

點評：本題考查了扇形的面積公式：S=

nπR2

360

，其中n為扇形的圓心角的度數，R為圓的半徑），或S=

1

2

lR，l為扇形的弧長，R為半徑．同時考查了圓周角定理及其推論以及等邊三角形的面積．