Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知直線l：yx+3交y軸于點A，x軸于點B，∠BAO的角平分線AC交x軸于點C，過點C作直線AB的垂線，交y軸于點D．

（1）求直線CD的解析式；

（2）如圖2，若點M為直線CD上的一個動點，過點M作MN∥y軸，交直線AB與點N，當四邊形AMND為菱形時，求△ACM的面積；

（3）如圖3，點P為x軸上的一個動點連接PA、PD，將△ADP沿DP翻折得到△A1DP，當以點A、A1、B為頂點的三角形是等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）yx﹣3;（2）;（3）點P的坐標為（，0），（﹣6﹣3），（3，0），（6﹣3，0）．

【解析】

（1）分別令x、y為0，建立方程可求得A、B的坐標，并由tan∠BAO=，求得∠BAO=60°，由AC平分∠BAO求得C的坐標，再應用兩條直線垂直時，k1k2=-1，就可以求得CD的解析式；

（2）根據菱形對角線互相垂直平分這一性質，可以確定點M的坐標，易求出△ACM的面積；

（3）△AA1B為等腰三角形，分三種情況：①AA1=AB，證明△ADA1是等邊三角形解決問題．②A1B=AB．過A1作A1H⊥y軸于H，易證△A1AH≌△APO（AAS），利用全等三角形性質解決問題即可．③AA1=A1B．若點P在x負半軸上，不存在A1B=AB，若點P在x正半軸上，點P與點B重合時，A1B=AB．

（1）如圖1，

在yx+3中，令x＝0，得y＝3，

∴A（0，3），

令y＝0得0x+3，解得x＝3，

∴B（3，0），

在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，

∴∠BAO＝60°，

∵AC平分∠BAO，

∴∠CAO∠BAO＝30°

∴OC

∴C（，0）

∵CD⊥AB

∴∠ODC＝90°﹣∠BAO＝90°﹣60°＝30°

在Rt△COD中，∠COD＝90°，

∴OD=3

∴D（0，﹣3）

設直線CD解析式為y＝kx+b，將C（，0），D（0，﹣3）代入得

，解得

∴直線CD的解析式為yx﹣3．

（2）如圖2，

令CD與AB交于點E，∵四邊形AMND是菱形，

∴AE＝NE DE＝ME

解方程組得，

∴E（，），

設M（t，t﹣3），則，，∴t＝3

∴M（，6），

在Rt△ADE中，cos∠ODC，sin∠ODC

∴DE＝AD×cos∠ODC＝6cos30°＝3，AE＝ADsin∠ODC＝6sin30°＝3

∴

在Rt△ODC中，∠ODC＝30°，∴CD＝2OC＝2

∴CE＝DE﹣CD＝32

∴CM＝CE+ME4，

∴S△ACM．

（3）如圖3，

△AA1B為等腰三角形，分三種情況：

①AA1＝AB，

由翻折知：A1D＝AD＝6，A1P＝AP，∠ADP＝∠A1DP，

∵∠ABO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣60°＝30°，

∴AB＝2AO＝2×3＝6

∴AA1＝A1D＝AD

∴△AA1D是等邊三角形

∴∠A1DA＝60°，

∴∠ADP＝30°，在Rt△PDO中，tan∠ADP

∴OP＝OD×tan∠ADP＝3tan30°

∴

②AA1＝A1B

∴A1在線段AB垂直平分線，

易證直線CD垂直平分線段AB

∴點A1落在直線CD上

由翻折知：A1D＝AD＝6，A1P＝AP，∠ADP＝∠A1DP，

∵∠ADC＝30°，

∴∠ADP＝∠A1DP＝75°，∠DPO＝90°﹣∠ADP＝90°﹣75°＝15°，

∵OA＝OD，PO⊥AD

∴∠APO＝∠DPO＝15°，

∴∠APD＝∠A1PD＝30°

∴∠A1PA＝60°

∴△A1PA是等邊三角形

∴AP＝A1A

過A1作A1H⊥y軸于H，易證△A1AH≌△APO（AAS）

A1H＝AO＝3，AH＝OP

點A1B的橫坐標為﹣3，將x＝﹣3代入直線CD的解析式為yx﹣3中，得y＝﹣33，

∴OH＝33，OP＝AH＝AO+OH＝3+33＝6+3，

∴P（﹣6﹣3，0）

③A1B＝AB

若點P在x負半軸上，不存在A1B＝AB，

若點P在x正半軸上，點P與點B重合時，A1B＝AB

∴P（3，0），

④如圖5中，當AA′＝A′B時，易證DP平分∠ODC，可得P（6﹣3，0）

綜上所述，點P的坐標為（，0），（﹣6﹣3），（3，0），（6﹣3，0）．