Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A（0，4），B（8，0），C（8，4）.

⑴ 試說明四邊形AOBC是矩形.

⑵ 在x軸上取一點D，將△DCB繞點C逆時針旋轉90°得到（點與點D對應）.

① 若OD＝3，求點的坐標.

② 連接AD'、OD'，則AD'＋OD'是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值及此時點D'的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①D'（12，－1）或D'（12，－7）②最小值為或4，此時點D'（12，2）

【解析】分析： 根據有一個角是直角的平行四邊形即可判定.

①分當點D在原點右側時和當點D在原點左側時兩種情況進行討論.

②畫出圖形，解答即可.

詳解：⑴ ∵ A（0，4），B（8，0），C（8，4）,

∴ OA=4，BC=4，OB=8，AC=8,

∴ OA=BC，AC=OB,

∴ 四邊形AOBC是平行四邊形 ,

∵ ∠AOB=90°,

∴ □AOBC是矩形,

⑵ ∵ □AOBC是矩形,

∴ ∠ACB=90°，∠OBC=90°,

∵將△DCB繞點C逆時針旋轉90°得到（點與點D對應）,

∴， ， ,

，

∴⊥AC,

如圖，當點D在原點右側時： ,

∴ 點的坐標為

如圖，當點D在原點左側時： ,

∴ 點的坐標為

綜上所述：點的坐標為或

②如圖所示：

AD'＋OD'的最小值是最小值為或4，此時點D'