Question

【題目】在ABCD中，過點D作對DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF=AE，連結AF，BF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形．
（2）若CF=6，BF=8，DF=10，求證：AF是∠DAB的角平分線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵CF=AE，

∴BE=DF．

∴四邊形BFDE為平行四邊形．

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°．

∴四邊形BFDE是矩形

（2）證明：由（1）得，四邊形BFDE是矩形，

∴∠BFD=90°．

∴∠BFC=90°，

在Rt△BFC中，由勾股定理得：BC= = =10．

∴AD=BC=10．

∵DF=10，

∴AD=DF．

∴∠DAF=∠DFA．

∵AB∥CD，

∴∠DFA=∠FAB．

∴∠DAF=∠FAB．

∴AF平分∠DAB．

即AF是∠DAB的平分線

【解析】（1）由平行四邊形的性質和已知條件得出BE=DF，證明四邊形BFDE為平行四邊形，再由DE⊥AB，即可得出結論；（2）由矩形的性質和勾股定理求出BC，得出AD=BC=DF，證出∠DAF=∠DFA，再由平行線的性質即可得出結論．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質和矩形的判定方法，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形即可以解答此題．