Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為D，連接AD，點P是線段AD上一個動點（不與A、D重合），過點P作y軸的垂線PE，垂足點為E，連接AE．

（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）如果P點的坐標為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數關系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取到最大值時，過點P作x軸的垂線PF，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為點P′，求出P′的坐標，并判斷P′是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點A和點B的坐標代入得： ，

解得：a=1，b=﹣2．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點坐標為D為（﹣1，4）

（2）解：設AD的解析式為y=kx+b，將點A和點D的坐標代入得： ，

解得：k=2，b=6．

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6）．

∴S= PEyP= （﹣x）（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1）．

∴當x=﹣ =﹣ 時，S取值最大值

（3）解：如圖1所示：設P′F與y軸交與點N，過點P′作P′M⊥y軸與點M．

∵當x=﹣ 時，S取值最大值，

∴P（﹣ ，3）．

由翻折的性質可知：∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E= ．

∵PF∥y軸．

∴∠PFE=∠FEN．

∴EN=FN．

設EN=m，則FN=m，P′N=3﹣m．

∵在Rt△P′EN中，P′N2+P′E2=EN2，

∴（3﹣m）2+（ ）2=m2，解得：m= ．

∵S△P′EN= P′NP′E= ENP′M，

∴P′M= ．

∵在Rt△EMP′中，EM= = ，

∴OM=EO﹣EM= ．

∴P′（ ， ）．

把x= 代入拋物線的解析式得：y= ≠ ，

∴點P′不在該拋物線上

【解析】（1）用待定系數法將A、B兩點坐標代入函數解析式即可求解，再用配方法或代入頂點公式求出頂點坐標。
（2）要求△PAE得面積，由于PE⊥y軸，△PAE得面積=PEPE邊上的高，因此就得求出直線AD的函數解析式，根據點P在直線AD上，即可用含x的代數式求出PE、PE邊上的高，即可寫出s與x 的函數關系式，再求出頂點坐標即可求得結果。
（3）要求點P′的坐標，過點P′作P′M⊥y軸與點M．由（2）得出點P的坐標，根據折疊的性質，可以證得∠PFE=∠P′FE，PF=P′F，PE=P′E，再證明EN=FN，在Rt△P′EN中，運用勾股定理求出EN的長，再根據直角三角形的面積等于兩直角邊積的一半等于斜邊乘以斜邊上的高，求出P′M的長，在Rt△EMP′中求出EM的長，即可求得OM的長，就可用寫出點P′的坐標，再將點P′的橫坐標代入函數解析式就可知道點P′是否在此拋物線上。