Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，點E在邊AD上，AE＝1，過E、D兩點的圓的圓心O在邊AD的上方，直線BO交AD于點F，作DG⊥BO，垂足為G．當△ABF與△DFG全等時，⊙O的半徑為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據全等三角形的性質得到BF=DF，根據矩形的性質得到∠A=90°，根據勾股定理得到AF=4，連接OE，OD，則OE=OD，過O作OH⊥AD于H，則HE=HD=4，根據相似三角形的性質得到OH=，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解：∵△ABF與△DFG全等，
∴BF=DF，
∵AD=9，
∴BF=9-AF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴AB2+AF2=BF2，
即32+AF2=（9-AF）2，
解得：AF=4，
∵AE=1，
∴EF=3，DE=8，
連接OE，OD，
則OE=OD，
過O作OH⊥AD于H，
則HE=HD=4，
∴FH=1，
∵∠A=∠OHF=90°，∠AFB=∠OFH，
∴△ABF∽△HOF，
∴＝，
即＝，
∴OH=，
在Rt△ODH中，OD==，

故選：B．