Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D為邊AB上一動點(B點除外)，以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為______.

Answer 1

【答案】8

【解析】

如圖，過點A作AH⊥BC于H，過點E作EM⊥AB于M，過點C作CN⊥AB于N，根據等腰三角形的性質以及三角形的面積可求出CN=4，繼而根據勾股定理求出AN=3，從而求得BN的長，然后證明△EDM≌△DCN，根據全等三角形的性質可得EM=DN，設BD=x，則DN=8-x，繼而根據三角形的面積公式可得S△BDE=，根據二次函數的性質即可求得答案.

如圖，過點A作AH⊥BC于H，過點E作EM⊥AB于M，過點C作CN⊥AB于N，

∵AB=AC=5，BC=4，AH⊥BC，

∴BH=BC=2，

∴AH==，

∵S△ABC=，

即，

∴CN=4，

在Rt△CAN中，∠ANC=90°，∴AN==3，

∴BN=BA+AN=8，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴∠EDM+∠CDN=∠EDC=90°，ED=CD，

∵∠CDN+∠NCD=90°，

∴∠EDM=∠DCN，

又∵∠EMD=∠DNC=90°，

∴△EDM≌△DCN，

∴EM=DN，

設BD=x，則DN=8-x，

∴S△BDE===，

∵，

∴S△BDE的最大值為8，

故答案為：8.