Question

【題目】【題目】有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．將這副直角三角板按如圖1所示位置擺放，點B與點F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上．現固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當點F運動到點A時停止運動．

（1）如圖2，當三角板DEF運動到點D與點A重合時，設EF與BC交于點M，則∠EMC=　 度；

（2）如圖3，在三角板DEF運動過程中，當EF經過點C時，求FC的長；

（3）在三角板DEF運動過程中，設BF=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數解析式，并求出對應的x取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）15；（2）FC=；（3）y= ．

【解析】試題分析：（1）如題圖2所示，由三角形的外角性質可得；

（2）如題圖3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；

（3）認真分析三角板的運動過程，明確不同時段重疊圖形的變化情況

（I）當0≤x≤2時，如圖1所示；

（II）當2＜x≤6-2時，如圖2所示；

（III）當6-2＜x≤6時，如圖3所示．

試題解析：（1）如題圖2所示，

∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4，

∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，

∴∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC=60°-45°=15°；

（2）如題圖3所示，當EF經過點C時，

FC====4；

（3）在三角板DEF運動過程中，

（I）當0≤x≤2時，如圖1所示：

設DE交BC于點G．

過點M作MN⊥AB于點N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN．

又∵NF==MN，BN=NF+BF，

∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．

y=S△BDG-S△BFM

=BDDG-BFMN

=（x+4）2-xx

=-x2+4x+8；

（II）當2＜x≤6-2時，如圖2所示：

過點M作MN⊥AB于點N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN．

又∵NF==MN，BN=NF+BF，

∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．

y=S△ABC-S△BFM

=ABAC-BFMN

=×62-xx

=-x2+18；

（III）當6-2＜x≤6時，如圖3所示：

由BF=x，則AF=AB-BF=6-x，

設AC與EF交于點M，則AM=AFtan60°=（6-x）．

y=S△AFM=AFAM=（6-x）（6-x）=x2-6x+18．

綜上所述，y與x的函數解析式為：

y=．