Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．

（1）求拋物線及直線AC的函數關系式；

（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）在對稱軸上是否存在一點M，使△ANM的周長最小．若存在，請求出M點的坐標和△ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）當x＝﹣時，△APC的面積取最大值，最大值為，此時點P的坐標為（﹣，）；（3）在對稱軸上存在一點M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為3．

【解析】

（1）根據點A，C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線及直線AC的函數關系式；（2）過點P作PE∥y軸交x軸于點E，交直線AC于點F，過點C作CQ∥y軸交x軸于點Q，設點P的坐標為（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），則點E的坐標為（x，0），點F的坐標為（x，﹣x+1），進而可得出PF的值，由點C的坐標可得出點Q的坐標，進而可得出AQ的值，利用三角形的面積公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函數的性質，即可解決最值問題；（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點N的坐標，利用配方法可找出拋物線的對稱軸，由點C，N的坐標可得出點C，N關于拋物線的對稱軸對稱，令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M，則此時△ANM周長取最小值，再利用一次函數圖象上點的坐標特征求出點M的坐標，以及利用兩點間的距離公式結合三角形的周長公式求出△ANM周長的最小值即可得出結論．

（1）將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的函數關系式為y＝﹣x2﹣2x+3；

設直線AC的函數關系式為y＝mx+n（m≠0），

將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直線AC的函數關系式為y＝﹣x+1．

（2）過點P作PE∥y軸交x軸于點E，交直線AC于點F，過點C作CQ∥y軸交x軸于點Q，如圖1所示．

設點P的坐標為（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），則點E的坐標為（x，0），點F的坐標為（x，﹣x+1），

∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．

∵點C的坐標為（﹣2，3），

∴點Q的坐標為（﹣2，0），

∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，

∴S△APC＝AQPF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ．

∵﹣＜0，

∴當x＝﹣時，△APC的面積取最大值，最大值為，此時點P的坐標為（﹣， ）．

（3）當x＝0時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，

∴點N的坐標為（0，3）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1．

∵點C的坐標為（﹣2，3），

∴點C，N關于拋物線的對稱軸對稱．

令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M，如圖2所示．

∵點C，N關于拋物線的對稱軸對稱，

∴MN＝CM，

∴AM+MN＝AM+MC＝AC，

∴此時△ANM周長取最小值．

當x＝﹣1時，y＝﹣x+1＝2，

∴此時點M的坐標為（﹣1，2）．

∵點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（﹣2，3），點N的坐標為（0，3），

∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝，

∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．

∴在對稱軸上存在一點M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為3+．