Question

【題目】問題背景：已知在△ABC中，邊AB上的動點D由A向B運動（與A，B不重合），同時點E由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），連接DE交AC于點F，點H是線段AF上一點，求的值．

（1）初步嘗試

如圖（1），若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D、E的運動速度相等，小王同學發現可以過點D作DG∥BC交AC于點G，先證GH＝AH，再證GF＝CF，

從而求得的值為 ．

（2）類比探究

如圖（2），若△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且點D，E的運動速度之比是︰1，求的值．

（3）延伸拓展

如圖（3）若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，記＝m，且點D、E的運動速度相等，試用含m的代數式表示的值（直接寫出果，不必寫解答過程）．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）

【解析】（1）過點D作DG∥BC交AC于點G，由題意知△AGD是等邊三角形，所以AD=GD，所以可以證明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由三線合一可知：AH=GH，所以=2；

（2）過點D作DG∥BC交AC于點G，由點D、E的運動速度之比是：1可知GD=CE，所以可以證明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，所以CF=GF，由∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°可知：AH=DH，所以=2；

（3）類似（1）（2）的方法可求出=m和=m，然后利用GH+FG=m（AC-HF），

即可求出的值.

解：（1）過點D作DG∥BC交AC于點G，

∵△ABC是等邊三角形，

∴△AGD是等邊三角形，

∴AD=GDA，

由題意知：CE=AD，

∴CE=GD，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，

在△GDF與△CEF中，

∠GDF=∠CEF，∠GFD=∠EFC，CE=GD，

∴△GDF≌△CEF（AAS），

∴CF=GF，

∵DH⊥AG，

∴AH=GH，

∴AC=AG+CG=2GH+2CF=2（GH+CF），HF=GH+GF，

∴=2；

（2）

如圖（1）過點D作DG∥BC交AC于點G，

則∠ADG＝∠ABC＝90°．

∵∠BAC＝∠ADH＝30°，

∴AH＝DH，∠GHD＝∠BAC＋∠ADH＝60°，

∠HDG＝∠ADG－∠ADH＝60°，

∴△DGH為等邊三角形．

∴GD＝GH ＝DH ＝AH，AD＝GD·tan60°＝GD．

由題意可知，AD＝CE．∴GD＝CE．

∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF．

∴△GDF≌△CEF．∴GF＝CF．

GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AH＋CF，

∴HF＝AC＝2，即．

（3） ．

提示：如圖（2）

，

過點D作DG∥BC交AC于點G，

易得AD＝AG，AD＝EC，∠AGD＝∠ACB．

在△ABC中，∵∠BAC＝∠ADH＝36°，AB＝AC，

∴AH＝DH，∠ACB＝∠B＝72°，∠GHD＝∠HAD＋∠ADH＝72°．

∴∠AGD＝∠GHD＝72°．

∵∠GHD＝∠B＝∠HGD＝∠ACB，∴△ABC∽△DGH．∴，

∴GH＝mD H＝mA H．

由△ADG∽△ABC可得．

∵DG∥BC，∴．∴FG＝mFC．

∴GH＋FG＝m（AH＋FC）＝m（AC－HF），

即HF＝m（AC－HF）．∴ ．

“點睛”本題考查三角形的綜合問題，涉及全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質等知識，內容比較綜合，需要學生靈活運用所學的知識進行解答.