Question

【題目】在△ABC中, AB=BC,O是AC的中點，P是AC上的一個動點（P點不與點A,O,C重合）．過點A,點C作直線BP的垂線，垂足分別為點E和點F，連接OE,OF．

（1）如圖1，判斷線段OE與OF的數量關系是什么，請說明理由；

（2）如圖2，當∠ABC=90°時，請判斷線段OE與OF之間的數量關系和位置關系，并說明理由?

Answer 1

【答案】（1）OF=OE，理由見解析；（2）OF⊥OE，OF=OE．理由見解析；

【解析】

（1）如圖1中，延長EO交CF于K．首先證明△AOE≌△COK，推出OE=OK即可解決問題；
（2）如圖2中，延長EO交CF于K．由△ABE≌△BCF，推出BE=CF，AE=BF，由△AOE≌△COK，推出AE=CK，OE=OK，推出FK=EF，可得△EFK是等腰直角三角形，即可解決問題；

解：（1）如圖1中，延長EO交CF于K．

∵AE⊥BE，CF⊥BE，
∴AE∥CK，
∴∠EAO=∠KCO，
∵OA=OC，∠AOE=∠COK，
∴△AOE≌△COK（ASA），
∴OE=OK，
∵△EFK是直角三角形，
∴OF=EK=OE．
（2）如圖2中，延長EO交CF于K．

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵AB=BC，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，AE=BF，
∵△AOE≌△COK，
∴AE=CK，OE=OK，
∴FK=EF，
∴△EFK是等腰直角三角形，
∴OF⊥EK，OF=OE．