Question

【題目】菱形的邊長為，，、分別是、的中點，、分別在、上，且．

求證：四邊形是平行四邊形；

當四邊形是菱形時，求的長；

當四邊形是矩形時，求此時點到點的距離．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）1；（3）2.

【解析】

（1）根據菱形的性質結合已知條件易證△AEF≌△CGH，由全等三角形的性質可得EF=GH，繼而求得BF=DH，BG=DE，同理可證△BGF≌△DEH，即可得GF=EH，根據兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形即可得四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖，若為菱形，

只需要過且垂直，即，再求得及，根據30°角直角三角形的性質即可求得的長；（3）若是矩形只需要對角線相等，即，

只需與是所在邊中點即可，所以；即點到點的距離為．

證明：∵四邊形是菱形，

∴，，，

∵，分別是，的中點，

∴，

在與中，，

∴，

∴，

∵，

∴，，

同理證得，

∴，

∴四邊形是平行四邊形；

（2）如圖，若為菱形，

只需要過且垂直，即，

∵是等邊三角形，

∴，

∴，

∵，則，

∴

如圖，若是矩形

只需要對角線相等，即，

只需與是所在邊中點即可，

∴；

即點到點的距離為．