Question

【題目】已知，等邊三角形ABC的邊長為5，點P在線段AB上，點D在線段BC上，且△PDE是等邊三角形．

（1）初步嘗試：若點P與點A重合時（如圖1），BD+BE=　 　．

（2）類比探究：將點P沿AB方向移動，使AP=1，其余條件不變（如圖2），試計算BD+BE的值是多少？

（3）拓展遷移：如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，點P在線段AB的延長線上，點D在線段CB的延長線上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，設BP=a，請直接寫出線段BD、BE之間的數量關系（用含a的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）5；（2）4；（3）BD﹣BE =2acos55°．

【解析】試題分析：（1）先判斷出∠BPE=∠CAD，進而判斷出△PBE≌△ACD，即可得出BD+BE=BC=5；
（2）先構造出等邊三角形，再判斷出∠BPE=∠FPD，進而判斷出△PBE≌△PFD，即可得出BD+BE=BF=4；
（3）類似于（2）的方法判斷出△PBE≌△PFD得出BE=DF，再判斷出BF=2BG，利用用銳角三角函數求出BG=acos55°，即可BD-BE=BF=2acos55°．

試題解析：解：（1）∵△ABC和△PDE是等邊三角形，

∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°，

∴∠BPE=∠CAD，

∴△PBE≌△ACD，

∴BE=CD，

∴BD+BE=BD+CD=BC=5，

故答案為5；

（2）如圖2，過點P作PF∥AC交BC于F，

∴△FPB是等邊三角形，

∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4，∠BPF=60°，

∵△PDE是等邊三角形，

∴PD=PE，∠DPE=60°，

∴∠BPE=∠FPD，

∴△PBE≌△PFD，

∴BE=DF，

∴BD+BE=BD+DF=BF=4；

（3）如圖3，

過點P作PF∥AC交BC于F，

∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C，

∵AB=AC，∠BAC=70°，

∴∠ABC=∠C=55°，

∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°，

∴PF=PB=a，

∵∠BPF=∠DPE=70°，

∴∠DPF=∠EPB，

∵PD=PE，

∴△PBE≌△PFD，

∴BE=DF，

過點P作PG⊥BC于G，

∴BF=2BG，

在Rt△BPG中，∠PBD=55°，

∴BG=BPcos∠PBD=acos55°，

∴BF=2BG=2acos55°，

∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2acos55°．