Question

【題目】問題情境：

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數學活動．如 圖 1，將：矩形紙片 ABCD 沿對角線 AC 剪開，得到△ABC 和△ACD．并且量得 AB ＝4cm，AC＝8cm．

操作發現：

（1）將圖 1 中的△ACD 以點 A 為旋轉中心，按逆時針方向旋轉∠α，使∠α＝∠BAC，得到如圖 2 所示的△AC′D，過點 C 作 AC′的平行線，與 DC'的延長線 交于點 E，則四邊形 ACEC′的形狀是 ．

（2）創新小組將圖 1 中的△ACD 以點 A 為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使 B、 A、D 三點在同一條直線上，得到如圖 3 所示的△AC′D，連接 CC'，取 CC′的中 點 F，連接 AF 并延長至點 G，使 FG＝AF，連接 CG、C′G，得到四邊形 ACGC′， 發現它是正方形，請你證明這個結論．

實踐探究：

（3）縝密小組在創新小組發現結論的基礎上，進行如下操作：將△ABC 沿著 BD 方向平移，使點 B 與點 A 重合，此時 A 點平移至 A'點，A'C 與 BC′相交于點 H， 如圖 4 所示，連接 CC′，試求 tan∠C′CH 的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）見解析；（3）tan∠C′CH＝．

【解析】

（1）根據可以得到,再結合可以得到,而已知可以得到四邊形為平行四邊形，由于旋轉，所以,從而得到四邊形為菱形；

（2）根據可以得到四邊形為平行四邊形，而，所以四邊形為菱形,那么只需要再證明一個直角即可，當、、三點共線時:，而根據旋轉的性質，,可以得到：

,從而證到四邊形為正方形；

（3）結合第二問可以得到,所以要求，就可以分別求出和得長度，由題意可以得到,那么，結合三角函數分別就可以分別求出和；

（1）菱形，理由如下：

由旋轉的性質可得：

，即

又

四邊形為平行四邊形

由旋轉的性質可得：

四邊形為菱形；

（2）正方形，理由如下：

四邊形為平行四邊形

又

四邊形為菱形

當、、三點共線時:

由旋轉的性質得：

四邊形為正方形；

（3）在中，AB＝4，AC＝8，

由（2）結合平移知，

在中，

在中，;