Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（10，0），B（4，8），C（0，8），連接AB，BC，點P在x軸上，從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度向點A運動，同時點M從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣B﹣C向點C運動，其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設P，M兩點運動的時間為t秒．

（1）求AB長；

（2）設△PAM的面積為S，當0≤t≤5時，求S與t的函數關系式，并指出S取最大值時，點P的位置；

（3）t為何值時，△APM為直角三角形？

Answer 1

【答案】(1)10;(2)中點處；（3）或.

【解析】試題分析：（1）過點作軸于點，利用勾股定理求出的長度；
（2）先判斷出點在上，然后表示出即可用三角形的面積公式即可；
（3）為直角三角形時，由于沒有規定哪個頂點是直角頂點，所以分三種情況進行討論；利用銳角三角函數或相似三角形的性質即可．

試題解析：

(1)如圖1,過點B作BD⊥x軸于點D，

∵A(10,0),B(4,8)C(0,8)，

∴AO=10，BD=8，AD=6，

由勾股定理可求得：AB=10，

(2)∵AB=10，

∴10÷2=5，

∴點M在AB上，

作ME⊥OA于E，

∴△AEM∽△ADB，

∴t=5時，S取最大值，此時PA=10t=5，

即：點P在OA的中點處.

(3)由題意可知：

當點P是直角頂點時，

∴PM⊥AP，

∴PA=10t，

若時,點M在AB上,如圖2,

此時AM=2t，

若時,點M在BC上,如圖3,

∴CM=142t，OP=t，

∴OP=CM，

∴t=142t，

當點A是直角頂點時，

此時,∠MAP不可能為 此情況不符合題意；

當點M是直角頂點時，

若時,M在AB上,如圖4,

此時，AM=2t，AP=10t

若時,點M在BC上,如圖5,

過點M作ME⊥x軸于點E，

此時，CM=142t，OP=t，

∴ME=8，PE=CMOP=143t，

∴EA=10(142t)=2t4，

∴∠PME=∠MAP，

∴△PME∽△MAE，

∴64=(143t)(2t4)，

故此情況不存在；

綜上所述,t=或