Question

【題目】在△ABC中，AB=13，BC=14．

（1）如圖1，AD⊥BC于點D，且BD=5，則△ABC的面積為　 　；

（2）在（1）的條件下，如圖2，點H是線段AC上任意一點，分別過點A，C作直線BH的垂線，垂足為E，F，設BH=x，AE=m，CF=n，請用含x的代數式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）84;（2）m+n的最大值為15，最小值為12．

【解析】

（1）先由勾股定理求得AD=12，然后利用三角形的面積公式求解即可；

（2）依據S△ABC=S△ABH+S△BHC可知BHAE+BHCF=84，然后將BH=x，AE=m，CF=n代入整理即可．

解：（1）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，

∴AD===12．

∵BC=14，

∴==84．

故答案為：84．

（2）∵S△ABC=S△ABH+S△BHC，

∴．

∴xm+xn=168．

∴m+n=

∵AD=12，DC=14﹣5=9，

∴AC==15．

∵m+n與x成反比，

∴當BH⊥AC時，m+n有最大值．

∴（m+n）BH=ACBH．

∴m+n=AC=15．

∵m+n與x成反比，

∴當BH值最大時，m+n有最小值．

∴當點H與點C重合時m+n有最小值．

∴m+n=，

∴m+n=12．

∴m+n的最大值為15，最小值為12．