Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A、C的坐標分別為A（﹣3，0），C（1，0），．

（1）求過點A、B的直線的函數表達式；

（2）在x軸上找一點D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，如P、Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設AP=DQ=m，問是否存在這樣的m使得以點A、P、Q為頂點的三角形與△ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為y=x+；（2）符合條件的D（，0）；（3）符合要求的m的值為 或.

【解析】

(1)根據點A、B的坐標求出AC的長度再根據求出BC的長度 然后即可寫出點B的坐標，設過點A,B的直線的函數表達式為y＝ kx＋b，利用待定系數法求解即可得到直線AB的函數表達式；

(2)過點B作BD⊥AB,交x軸于點D,D點為所求，繼而求出D點坐標；

(3)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB的值，當PQ// BD時，△APQ~△ABD ,解得m的值 ;當PQ⊥AD時，△APQ ~△ADB ,則解得m 的值.

（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC=4，

∵BC=AC，

∴BC=×4=3，

∴B（1，3），

設直線AB的解析式為y=kx+b，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y=x+；

（2）若△ADB與△ABC相似，

過點B作BD⊥AB交x軸于D，∴∠ABD=∠ACB=90°，如圖1，

此時 =，即AB2=ACAD．

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∴25=4AD，

∴AD=，

∴OD=AD﹣AO=﹣3=，

∴點D的坐標為（ ，0）．

即：符合條件的D（ ，0）．

（3）∵AP=DQ=m，

∴AQ=AD﹣QD=﹣m．

Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如圖2，

則有 =，

∴APAD=ABAQ，

∴m=5（ ﹣m），

解得m=；

Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如圖3，

則有 =，

∴APAB=ADAQ，

∴5m=（ ﹣m），

解得：m=，

綜上所述：符合要求的m的值為 或 ．