Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．

（1）求證：BE=CE；

（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由已知和等腰三角形的性質可得AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，即可得到△ABE≌△ACE，應用全等三角形的性質可得BE＝CE；

（2）由已知證得AF＝BF，由（1）得∠EAF＝∠CBF，再有∠AFE＝∠BFC＝90°，即可證得△AEF≌△BCF．

試題解析：證明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中點，∴∠BAE＝∠CAE．

在△ABE和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE．∴BE＝CE．（運用垂直平分線的性質說明也可）

（2）∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF為等腰直角三角形．∴AF＝BF．由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．

在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，

∴△AEF≌△BCF．