Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）當BD是⊙O的直徑時（如圖2），求∠CAD的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）22.5°．

【解析】

試題分析：（1）連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，由已知條件得出∠ABC=∠CAD，由圓周角定理得出∠ADE=90°，證出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出結論；

（2）由圓周角定理得出∠BAD=90°，由角的關系和已知條件得出∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，即可得出結果．

試題解析：（1）連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，如圖所示：

∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，∴∠ABC=∠CAD，∵AE為⊙O的直徑，∴∠ADE=90°，∴∠EAD=90°﹣∠AED，∵∠AED=∠ABD，∴∠AED=∠ABC=∠CAD，∴∠EAD=90°﹣∠CAD，即∠EAD+∠CAD=90°，∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切線；

（2）∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD=90°，∴∠ABC+∠ADB=90°，∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∴4∠ABC=90°，∴∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，∴∠CAD=22.5°．