Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0）、B兩點，與y軸相交于點．當x＝﹣4和x＝2時，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的函數值y相等，連接AC，BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若點M、N同時從B點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動，當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，則t的值為　 　，點P的坐標為　 　；

（4）拋物線對稱軸上是否存在一點F，使得△ACF是以AC為直角邊的直角三角形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3），；（4）存在，F1，F2．

【解析】

（1）由對稱性先求出點B的坐標，可設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1)，將C坐標代入y=a(x+3)(x﹣1)即可；

（2）先判斷△ABC為直角三角形，分別求出AB，AC，BC的長，由勾股定理的逆定理可證明結論；

（3）因為點M、N同時從B點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，所以BM=BN=t，證四邊形PMBN是菱形，設PM與y軸交于H，證△CPN∽△CAB，由相似三角形的性質可求出t的值，CH的長，可得出點P縱坐標，求出直線AC的解析式，將點P縱坐標代入即可；

（4）求出直線BC的解析式，如圖2，當∠ACF=90°時，點B，C，F在一條直線上，求出直線BC與對稱軸的交點即可；當∠CAF=90°時，求出直線AF的解析式，再求其與對稱軸的交點即可．

（1）∵在拋物線y=ax2+bx+c中，當x=﹣4和x=2時，二次函數y=ax2+bx+c的函數值y相等，

∴拋物線的對稱軸為x1，

又∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(﹣3，0)、B兩點，

由對稱性可知B(1，0)，

∴可設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1)，

將C(0，)代入y=a(x+3)(x﹣1)，

得：﹣3a，

解得：a，

∴此拋物線的解析式為y(x+3)(x﹣1)x2x；

（2）△ABC為直角三角形．理由如下：

∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)，

∴OA=3，OB=1，OC，

∴AB=OA+OB=4，AC2，BC2．

∵AC2+BC2=16，AB2=16，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）∵點M、N同時從B點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，

∴BM=BN=t，

由翻折知，△BMN≌△PMN，

∴BM=PM=BN=PN=t，

∴四邊形PMBN是菱形，

∴PN∥AB，

∴△CPN∽△CAB，設PM與y軸交于H，

∴，

即，

解得：t，CH，

∴OH=OC﹣CH，

∴yP，

設直線AC的解析式為y=kx，

將點A(﹣3，0)代入y=kx，

得：k，

∴直線AC的解析式為yx，

將yP代入yx，

∴x=﹣1，

∴P(﹣1，)．

故答案為：，(﹣1，)；

（4）設直線BC的解析式為y=kx，

將點B(1，0)代入y=kx，

得：k，

∴直線BC的解析式為yx，

由（2）知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°．

①如圖2，當∠ACF=90°時，點B，C，F在一條直線上，

在yx中，當x=﹣1時，y=2，

∴F1(﹣1，2)；

②當∠CAF=90°時，AF∥BC，

∴可設直線AF的解析式為yx+n，

將點A(﹣3，0)代入yx+n，

得：n=﹣3，

∴直線AF的解析式為yx﹣3，

在yx﹣3中，當x=﹣1時，y=﹣2，

∴F2(﹣1，﹣2)．

綜上所述：點F的坐標為F1(﹣1，2)，F2(﹣1，﹣2)．