Question

【題目】如圖，， 點分別在線段上，且

求證:

已知分別是的中點，連結

①若，求的度數(shù):

②連結當的長為何值時，四邊形是矩形?

Answer 1

【答案】（1）詳情見解析；（2）①15°，②

【解析】

（1）通過證明△ABD△ACE進一步求證即可；

（2）①連接AF、AG，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出AF=BD=BF，AG=CE=GC，由此進一步證明△AFG為等邊三角形，最后利用△ABF△ACG進一步求解即可；②連接BC，再連接EF、DG并延長分別交BC于點M、N，首先根據題意求得BM=DE=NC，然后利用△ABC~△AED進一步求解即可.

（1）在△ABD與△ACE中，

∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，

∴△ABD△ACE(SAS)，

∴BD=CE；

（2）①連接AF、AG，

∵AF、AG分別為Rt△ABD、Rt△ACE的斜邊中線，

∴AF=BD=BF，AG=CE=GC，

又∵BD=CE，FG=BD，

∴AF=AG=FG，

∴△AFG為等邊三角形，

易證△ABF△ACG(SSS)，

∴∠BAF=∠B=∠C=∠CAG，

∴∠C=15°；

②連接BC、DE，再連接EF、DG并延長分別交BC于點M、N，

∵△ABC與△AED都是等腰直角三角形，

∴DE∥BC，

∵F、G分別是BD、CE的中點，

∴易證△DEF△BMF，△DEG△NCG(ASA)，

∴BM=DE=NC，

若四邊形DEFG為矩形，則DE=FG=MN，

∴，

∵DE∥BC，

∴△ABC~△AED，

∴，

∵AC=4，

∴AD=，

∴當AD的長為時，四邊形DEFG為矩形.