Question

【題目】拋物線y＝﹣x交x軸于點A，點B（6，n）為拋物線上一點．

（1）求m與n之間的函數關系；

（2）如圖，點C（﹣n，0）在x軸上，且∠BAC＝2∠ACB，求m的值；

（3）在（2）的條件下，P為直線BC上方拋物線上一點，過點P作PD∥AB交x軸于點D，DE⊥BC交OP于點E，，求點P坐標．

Answer 1

【答案】(1)n＝m；(2)3；(3)P（4，3）

【解析】

（1）將點B（6，n）代入y＝﹣x，得到n＝m；

（2）過點B作BG⊥x軸，作∠BAC的角平分線交BG于點M，過點M作MN⊥AB，求出A（n+6，0），B（6，n），在Rt△ABC中，tan∠BAO＝，可求得tan∠MAG＝tan∠BAC＝，則有＝，即可求出n＝m＝3；

（3）由（2）可得y＝﹣x2+x，設P（t，﹣t2+t），由可得＝，所以求出E（t，﹣t2+2t），分別求出BC的解析式為y＝x+1，DE的解析式為y＝﹣3x﹣t2+t，即可求D（﹣t2+t，0），又由DP∥AB，得到，所以t＝4即可求P的坐標．

（1）將點B（6，n）代入y＝﹣x，得：

n=，

化簡得：n＝m；

（2）過點B作BG⊥x軸，作∠BAC的角平分線交BG于點M，過點M作MN⊥AB，

∵A（n+6，0），B（6，n），

∴AG＝n，

在Rt△ABG中，tan∠BAO＝，

∵MN⊥AB，MG⊥OA，

∴MN＝MG，

∵在Rt△MNB和Rt△AGB中，∠B為相等的角，

∴Rt△MNB∽Rt△AGB

∴，

設BN=3x,MN=4x，則BM＝5x,

∵BG-MB=MG，MG=MN，

∴n-5x=4x，解得x=，

∴MG＝MN＝，

∴tan∠MAG＝，

∵∠BAC＝2∠ACB，

∴tan∠BAC＝，

∵C（﹣n，0），

∴＝，

∴n＝3，

∴m＝3；

（3）如圖所示：

由（2）可得y＝﹣x2+x，

設P（t，﹣t2+t），

∵，

∴＝，

∴E（t，﹣t2+2t），

∵B（6，3），A（10，0），C（﹣3，0），

∴BC的解析式為y＝x+1，

∵BC⊥DE，

∴設直線DE的解析式為y=-3x+k，

把E（t，﹣t2+2t）代入y=-3x+k中得：k=﹣t2+t，

∴DE的解析式為y＝﹣3x﹣t2+t，

∴D（﹣t2+t，0），

∵DP∥AB，

∴ ，

∴ 即，

∴解方程得：t＝4或t＝0（增根，舍去），

∵P點在BC直線上方，

∴t＞0，

∴t＝4符合題意，

∴P（4，3）．