Question

【題目】如圖1，已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．

（1）證明：四邊形CEGF是正方形；

（2）探究與證明：

將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角（0°＜α＜45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數量關系，并說明理由；

（3）拓展與運用：

正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角（0°＜α＜45°），如圖3所示，當B，E，F三點在一條直線上時，延長CG交AD于點H，若AG＝6，GH＝2，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AG＝BE，理由見解析；（3）BC=3．

【解析】

（1）先說明GE⊥BC、GF⊥CD，再結合∠BCD=90°可證四邊形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可證明；

（2）連接CG，證明△ACG∽△BCE，再應用相似三角形的性質解答即可；

（3）先證△AHG∽△CHA可得，設BC＝CD＝AD＝a，則AC＝a，求出AH=a，DH=a，CH= ，最后代入即可求得a的值．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，

∵GE⊥BC、GF⊥CD，

∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，

∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，

∴EG＝EC，

∴四邊形CEGF是正方形．

（2）結論：AG＝BE；

理由：連接CG，

由旋轉性質知∠BCE＝∠ACG＝α，

在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝， ，

∴ ，

∴△ACG∽△BCE，

∴，

∴線段AG與BE之間的數量關系為AG＝BE；

（3）∵∠CEF＝45°，點B、E、F三點共線，

∴∠BEC＝135°，

∵△ACG∽△BCE，

∴∠AGC＝∠BEC＝135°，

∴∠AGH＝∠CAH＝45°，

∵∠CHA＝∠AHG，

∴△AHG∽△CHA，

∴，

設BC＝CD＝AD＝a，則AC＝a，

則由，得，

∴AH＝a，

則DH＝AD﹣AH＝a，，

∴，得 ，

解得：a＝3，即BC＝3．