Question

【題目】已知：如圖所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點B、C作經過點A的直線l的垂線段BD、CE，垂足分別D、E．

（1）求證：DE=BD+CE．

（2）如果過點A的直線經過∠BAC的內部，那么上述結論還成立嗎？請畫出圖形，直接給出你的結論（不用證明）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）上述結論不成立．

【解析】試題分析：（1）由垂線的定義和角的互余關系得出 由AAS證明≌，得出對應邊相等 由 即可得出結論；
（2）由垂線的定義和角的互余關系得出 由AAS證明≌，得出對應邊相等由 之間的和差關系，即可得出結論．

試題解析：(1)∵∠BAC=，

∴∠BAD+∠CAE=，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB=∠CEA=，

∴∠BAD+∠ABD=，

∴∠ABD=∠CAE.

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE(AAS)，

∴BD=AE，AD=CE，

∵AD+AE=DE，

∴BD+CE=DE；

(2)上述結論不成立，

如圖所示，BD=DE+CE.

證明：∵∠BAC=，

∴∠BAD+∠CAE=，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB=∠CEA=，

∴∠BAD+∠ABD=，

∴∠ABD=∠CAE.

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE(AAS)，

∴BD=AE，AD=CE，

∵AD+DE=AE，

∴BD=DE+CE.

如圖所示，CE=DE+BD，

證明：證明：∵∠BAC=，

∴∠BAD+∠CAE=，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB=∠CEA=，

∴∠BAD+∠ABD=，

∴∠ABD=∠CAE.

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE(AAS)，

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE+DE=AD，

∴CE=DE+BD.