Question

【題目】在四邊形中，對角線、相交于點，將繞點按逆時針方向旋轉得到，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），連接、，與交于點．

（1）如圖1，若四邊形是正方形．

①求證：≌．

②請直接寫出與的位置關系．

（2）如圖2，若四邊形是菱形，，，設．判斷與的位置關系，說明理由，并求出的值．

（3）如圖3，若四邊形是平行四邊形，，，連接，設．請直接寫出的值和的值．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②AC1⊥BD1；（2）k=，AC1⊥BD1，理由見解析；（3）k=，AC12+(kDD1)2=25

【解析】

（1）①根據正方形與旋轉的性質，通過SAS證明兩三角形全等；

②由全等三角形的性質得出，通過證明進行求解；

（2）根據菱形與旋轉的性質得出OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，進而可證明△AOC1∽△BOD1，利用相似三角形的性質進行求解；

（3）同（2）的解法相似可求出k的值，根據旋轉的性質得出OD1=OB=OD，進而可得出，利用勾股定理進行求解．

（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，

∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1，

在△AOC1和△BOD1中，

，

∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；

②解：AC1⊥BD1，理由如下：

∵△AOC1≌△BOD1，

∴，

∵，

∴，即，

∴AC1⊥BD1；

（2）解：AC1⊥BD1，理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴OC=OA=AC，OD=OB=BD，AC⊥BD，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，

∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，

∴，

∴△AOC1∽△BOD1，

∴∠OAC1=∠OBD1，

又∵∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，

∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，

∴∠APB=90°，

∴AC1⊥BD1，

∵△AOC1∽△BOD1，

∴=，

∴k=；

（3）解：與（2）一樣可證明△AOC1∽△BOD1，

∴，

∴k=；

∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C1OD1，

∴OD1=OD，而OD=OB，

∴OD1=OB=OD，

∴△BDD1為直角三角形，即，

在Rt△BDD1中，BD12+DD12=BD2=100，

∴(2AC1)2+DD12=100，

∴AC12+(kDD1)2=25．