Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，P是BC上一點，E是AB上一點，PD平分∠APC，PE⊥PD，連接DE交AP于F，在以下判斷中，不正確的是（　　）

A.當P為BC中點，△APD是等邊三角形

B.當△ADE∽△BPE時，P為BC中點

C.當AE＝2BE時，AP⊥DE

D.當△APD是等邊三角形時，BE+CD＝DE

Answer 1

【答案】B

【解析】

A、先判斷出△APB≌△DPC，進而可以得出∠APD＝60°，即可得出結論；

B、雖然題目中有相似三角形和直角三角形，但沒有告訴線段與線段之間的倍數關系和沒出現含30°的直角三角形，所以沒辦法得出點P是BC的中點；

C、先求出∠BAP，進而得出∠ADE＝∠PDE，即可判斷出△ADE≌△PDE，最后用三角形三線合一的性質即可得出結論；

D、先求出∠BPE＝∠APE＝∠PAB＝30°，再用含30°的直角三角形的性質和勾股定理即可得出結論．

解：A、∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，

∵點P是BC的中點，

∴PB＝PC，

在△APB和△DPC中，

，

∴△APB≌△DPC（SAS），

∴PA＝PD，∠APB＝∠DPC，

∵PD平分∠APC，

∴∠APD＝∠CPD，

∴∠APB＝∠APD＝∠CPD，

∵∠APB+∠APD+∠CPD＝180°，

∴∠APD＝60°，

∵PA＝PD，

∴△APD是等邊三角形；

∴A正確，故A不符合題意；

B、由給出的條件，沒辦法得出點P是BC的中點，故B符合題意；

C、∵PD⊥PE，

∴∠BPE+∠DPC＝90°，∠APE+∠APD＝90°，

∵∠APD＝∠CPD，

∴∠APE＝∠BPE，

過點B作BG∥AP交PE的延長線于G，

∴∠G＝∠APE＝∠BPE，

∴BG＝BP，

∵BG∥AP，

∴△BEG∽△AEP，

∴

∴，

∵AE＝2BE，

∴，

在Rt△ABP中，sin∠BAP＝，

∴∠BAP＝30°，

∴∠APB＝60°，

∴∠BPE＝∠APE＝30°＝∠BAP，

∴AE＝PE，

∵EA⊥AD，EP⊥PD，

∴∠ADE＝∠PDE，

在△ADE和△PDE中，

，

∴△ADE≌△PDE，

∴∠AED＝∠PED，

∵AE＝PE，

∴DE⊥AP，

∴C正確，故C不符合題意；

D、∵△APD是等邊三角形，

∴AP＝DP，∠APD＝60°，

∴∠CPD＝60°，

∴∠APB＝60°，

∴∠BPE＝∠APE＝∠PAB＝30°

∴AE＝PE

設BE＝a，

在Rt△PBE中，BP＝BE＝a，PE＝2a，

∴AE＝2a，

∴CD＝AB＝BE+AE＝3a，

易證△APB≌△DPC，

∴PB＝PC，

∴AD＝BC＝2BP＝2a，

在Rt△ADE中，根據勾股定理，得，DE＝＝4a，

∵BE+CD＝a+3a＝4a＝DE，

∴D正確，故D不符合題意；

∴符合題意的只有B．

故選：B．