Question

【題目】已知二次函數y＝2x2+bx﹣1（b為常數）．

（1）若拋物線經過點（1，2b），求b的值；

（2）求證：無論b取何值，二次函數y＝2x2+bx﹣1圖象與x軸必有兩個交點；

（3）若平行于x軸的直線與該二次函數的圖象交于點A，B，且點A，B的橫坐標之和大于1，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝1；（2）見解析；（3）b＜﹣2．

【解析】

（1）把點（1，2b）代入拋物線解析式即可得解；
（2）計算判別式的值得到△=b2+8，利用非負數的性質得到△＞0，然后根據判別式的意義得到結論；
（3）將平行于x軸的直線y=m與拋物線聯立得出關于x的方程，由其交點的橫坐標之和大于1可得出有關b的不等式，即可求解．

解：（1）把點P（1，2b）代入拋物線y＝2x2+bx﹣1中，得

2+b﹣1＝2b，

解得：b＝1．

（2）證明：∵△＝b2﹣4×2×（﹣1）＝b2+8，

∵無論b取何值，b2≥0，

∴b2+8＞0，

∴二次函數y＝2x2+b x﹣1圖象與x軸必有兩個交點．

（3）設平行于x軸的直線為y＝m，

∵直線y＝m與該二次函數的圖象交于點A，B，

∴，

整理得，2x2+bx﹣1﹣m＝0，

若x1，x2是方程2x2+bx﹣1﹣m＝0的兩根，則x1，x2是直線與拋物線交點A，B的橫坐標，

∴，

由題意得，，解得，b＜﹣2．

∴b的取值范圍是b＜﹣2．