Question

【題目】( 本小題滿分10分)如圖，已知：在平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求證：

⑴△AEH≌△CGF；

⑵四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

【解析】試題分析：(1)、由全等三角形的判定定理SAS證得結論；(2)、易證四邊形EFGH是平行四邊形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分線，易得∠HEG=∠FEG，根據(jù)等量代換可得∠HEG=∠HGE，從而有HE=HG，易證四邊形EFGH是菱形．

試題解析：（1）、如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A=∠C，

在△AEH與△CGF中，， ∴△AEH≌△CGF（SAS）；

(2)、∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D． 又∵AE=CG，AH=CF，

∴BE=DG，BF=DH， 在△BEF與△DGH中，∴△BEF≌△DGH（SAS）， ∴EF=GH．

又由（1）知，△AEH≌△CGF， ∴EH=GF， ∴四邊形EFGH是平行四邊形， ∴HG∥EF，

∴∠HGE=∠FEG， ∵EG平分∠HEF， ∴∠HEG=∠FEG， ∴∠HEG=∠HGE， ∴HE=HG，∴四邊形EFGH是菱形．