Question

【題目】（1）（探索發現）

如圖1，在正方形ABCD中，點M，N分別是邊BC，CD上的點，∠MAN＝45°，若將△DAN繞點A順時針旋轉90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周長為8，則正方形ABCD的邊長為　 　．

（2）（類比延伸）

如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，點M，N分別在邊BC，CD上的點，∠MAN＝60°，請判斷線段BM，DN，MN之間的數量關系，并說明理由．

（3）（拓展應用）

如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，點M，N分別在邊BC，CD上，連接AM，MN，AN，△ABM是等邊三角形，AM⊥AD于點A，∠DAN＝15°，請直接寫出△CMN的周長．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）MN＝NM+DN，理由見解析；（3）6+4

【解析】

（1）求出MN＝BM+DN，證明△MNC的周長＝BC+CD即可解決問題；

（2）延長CB至E，使BE＝DN，連接AE，首先證明△ABE≌△ADN，然后證明△MAN≌△MAE，根據全等三角形的性質可得結論；

（3）如圖3，延長BA，CD交于G，解30度直角三角形求出DG和AG，進而得到BC和CD，然后根據（2）中結論計算即可．

解：（1）如圖1中，∵△MAN≌△MAG，

∴MN＝GM，

∵DN＝BG，GM＝BG+BM，

∴MN＝BM+DN，

∵△CMN的周長為：MN+CM+CN＝8，

∴BM+CM+CN+DN＝8，

∴BC+CD＝8，

∴BC＝CD＝4，

故答案為4；

（2）結論：MN＝NM+DN．

理由：如圖2中，延長CB至E，使BE＝DN，連接AE，

∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，

∴∠D＝∠ABE，

在△ABE和△ADN中，，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，

∵∠BAD＝2∠MAN，

∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，

∴∠MAN＝∠EAM，

在△MAN和△MAE中，，

∴△MAN≌△MAE（SAS），

∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN；

（3）如圖3，延長BA，CD交于G，

∵∠BAM＝60°，∠MAD＝90°，

∴∠BAD＝150°，

∴∠GAD＝30°，

∵AD＝2，

∴DG＝1，AG＝，

∵∠DAN＝15°，

∴∠GAN＝45°，

∴AG＝GN＝，

∴BG＝2+，

∴BC＝2BG＝4+2，CG＝BG＝2+3，

∴CD＝CG﹣DG＝2+2，

由（2）得，MN＝BM+DN，

∴△CMN的周長＝CM+CN+MN＝CN+DN+CM+BM＝BC+CD＝4+2+2+2＝6+4．