Question

閱讀下列材料，回答問題．
材料一：人們習慣把形如y=x+

k

x

(k＞0)的函數稱為“根號函數”，這類函數的圖象關于原點中心對稱．
材料二：對任意的實數a、b而言，a²-2ab+b²=（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab．
易知當a=b時，（a-b）²=0，即：a²-2ab+b²=0，所以a²+b²=2ab．
若a≠b，則（a-b）²＞0，所以a²+b²＞2ab．
材料三：如果一個數的平方等于m，那么這個數叫做m的平方根（square root）．一個正數有兩個平方根，它們互為相反數．0的平方根是0，負數沒有平方根．
問題：
（1）若“根號函數”y=x+

1

x

在第一象限內的大致圖象如圖所示，試在網格內畫出該函數在第三象限內的大致圖象；
（2）請根據材料二、三給出的信息，試說明：當x＞0時，函數y=x+

1

x

的最小值為2．

Answer 1

分析：（1）根據材料一，函數的圖象關于原點中心對稱，可得函數圖象；
（2）將y=x+

1

x

化為y=

(x+ 1 x )2

=

x2+ 1 x2 +2

，再根據材料二、三所給條件解答．

解答：解：（1）根據材料一，函數的圖象關于原點中心對稱，可得函數圖象：
（2）∵x＞0，
∴y=

(x+ 1 x )2

=

x2+ 1 x2 +2

，
又∵x²+

1

x2

-2x•

1

x

=（x-

1

x

）²≥0，
∴x²+

1

x2

≥2，
∴y=

(x+ 1 x )2

=

x2+ 1 x2 +2

≥

2+2

=2，
即y≥2，
∴函數y=x+

1

x

的最小值為2．

點評：本題考查了反比例函數綜合題，讀懂材料并加以運用是解題的關鍵．