Question

閱讀下列材料后回答問題：
在平面直角坐標系中，已知x軸上的兩點A（x₁，0），B（x₂，0）的距離記作|AB|=|x₁-x₂|，如果A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面上任意兩點，我們可以通過構造直角三角形來求A、B間的距離．
如圖，過A、B兩點分別向x軸、y軸作垂線AM₁、AN₁和BM₂、BN₂，垂足分別記作M₁（x₁，0），N₁（0，y₁）、M₂（x₂，0），N₂（0，y₂），直線AN₁與BM₂交于Q點．
在Rt△ABQ中，|AB|²=|AQ|²+|QB|²，∵|AQ|=|M₁M₂|=|x₂-x₁|，|BQ|=|N₁N₂|=|y₂-y₁|
∴|AB|²=|x₂-x₁|2+|y₂-y₁|²由此得任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的距離公式：|AB|=

|x2-x1|2+|y2-y1|2

如果某圓的圓心為（0，0），半徑為r．設P（x，y）是圓上任一點，根據“圓上任一點到定點（圓心）的距離都等于定長（半徑）”，我們不難得到|PO|=r，即

(x-0)2+(y-0)2

=r，整理得：x²+y²=r²．我們稱此式為圓心在原點，半徑為r的圓的方程．
（1）直接應用平面內兩點間距離公式，求點A（1，-3），B（-2，1）之間的距離；
（2）如果圓心在點P（2，3），半徑為3，求此圓的方程．
（3）方程x²+y²-12x+8y+36=0是否是圓的方程？如果是，求出圓心坐標與半徑．

Answer 1

分析：（1）根據材料說明，畫出圖形，求出兩點間的距離公式，利用該公式來解答即可；
（2）利用圓的標準方程來列方程；
（3）把圓的一般方程轉化為圓的標準方程后，就很容易找出圓心坐標與圓的半徑．

解答：解：（1）根據題意，建立直角坐標系，
在直角△ABQ中，AB²=AQ²+BQ²，
∴AB=

AQ2+BQ2

①
根據題意，得：
AQ=|x₂-x₁|②
BQ=|y₂-y₁|③
把②③代入①，得：
AB=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

，
把A（1，-3），B（-2，1）代入上式
AB=

(-2-1)2+(1+3)2

=5，
∴AB=5．

（2）（x-2）²+（y-3）²=9．

（3）∵方程x²+y²-12x+8y+36=0可以變形為（x-6）²+（y+4）²=16，
所以它是圓的方程，圓心坐標為（6，-4），半徑為4．

點評：本題考查了坐標與圖形的性質，在解題過程中，涉及到了各種圖形的有關計算公式，所以，要牢記各種計算公式，以免在解題過程中出現知識混淆現象，從而造成解題錯誤．