Question

【題目】如圖，D是△ABC邊BC上的點，連接AD，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．

用兩種不同方法證明AB＝AC．

Answer 1

【答案】兩種不同方法證明見解析．

【解析】

（1）過D作DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分線的性質得DE＝DF，然后根據HL定理證Rt△BDE≌Rt△CDF，得∠B=∠C，根據“等角對等邊”即可證明AB=AC；

（2）延長AD到E，使DE＝AD得四邊形ABEC是平行四邊形，利用平行四邊形的性質得AC＝BE，AC∥BE，得∠BED＝∠CAD進而有∠BED＝∠BAD，所以 AB＝BE，等量代換得到A B=AC ．

證法1：如圖，過D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，

∵ ∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ DE＝DF，∠BED＝90°，∠DFC＝90°，

∵ BD＝CD，

∴ Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴ ∠B＝∠C，

∴ AB＝AC．

證法2：如圖，延長AD到E，使DE＝AD．

∵ DE＝AD，BD＝CD，

∴ 四邊形ABEC是平行四邊形．

∴ AC＝BE，AC∥BE．

∴ ∠BED＝∠CAD．

又 ∠BAD＝∠CAD，

∴ ∠BED＝∠BAD．

∴ AB＝BE．

∴ AB＝AC．