Question

【題目】如圖1，ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交AD、BC于點E、F．

（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形；

（2）如圖2，小明在完成（1）的證明后繼續進行了探索．連接AF、CE，分別交BE、FD于點G、H，得到四邊形EGFH．此時，他猜想四邊形EGFH是平行四邊形，請在框圖（圖3）中補全他的證明思路，再在答題紙上寫出規范的證明過程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，∠ABC=∠ADC．AD=BC，由角平分線得出∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF．證出EB∥DF，即可得出結論；

（2）由平行四邊形的性質得出BE∥DF，DE=BF，得出AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，得出GF∥EH，即可證出四邊形EGFH是平行四邊形．

證明：在ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC．AD=BC．

∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=∠ABC．

∵DF 平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF=∠ADC．

∵∠ABC=∠ADC．

∴∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF．

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC．

∴∠AEB=∠ADF．

∴EB∥DF．

∵ED∥BF，

∴四邊形 EBFD 是平行四邊形．

（2）①補全思路：GF∥EH，AE∥CF；

②理由如下：

∵四邊形 EBFD 是平行四邊形；

∴BE∥DF，DE=BF，

∴AE=CF，

又∵AE∥CF，

∴四邊形 AFCE 是平行四邊形，

∴GF∥EH，

∴四邊形 EGFH 是平行四邊形．