Question

【題目】我市某高科技公司生產一種矩形新型材料板，其長寬之比為 3∶2，每張材料板的成本 c與它的面積成正比例。每張材料板的銷售價格 y與其寬 x 之間滿足我們學習過的某種函數關系(即一次函數、反比例函數和二次函數關系中的一種)，下表記錄了該工廠生產、銷售該材料板一些數據：

（1）求一張材料板的銷售格 y 其寬 x 之間的函數關系式 （不必寫出自變的取值范圍）

（2）若一張材料板的利潤 w 為銷售價格 y與成本 c 的差

①請直接寫出一張材料板的利潤 w 其寬 x 之間的函數關系 （不必寫出自變的取值范圍）

②當材料板的寬為多少時，一張材料板的利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ① ；②當寬為60cm時，利潤最大 ，最大利潤為900元.

【解析】

（1）根據圖表可知所有點在一條直線上，故是一次函數，然后用待定系數法求出解析式并驗證；

（2）①因為長寬之比為3：2，當寬為x時，則長為1.5x，根據矩形的面積公式可得x和y的關系進而得到c和x的關系，所以一張材料板的利潤w與其寬x之間的函數關系可求出；②利用①中的函數性質即可求出當材料板的寬為多少時，一張材料板的利潤最大，以及最大利潤是多少．

解：（1）根據表中的數據判斷，銷售價格y于寬x之間的函數關系是一次函數，設其解析式為y＝kx＋b，

則24k＋b＝780，30k＋b＝900，

解得：k＝20，b＝300，

將x＝42，y＝1140和x＝54，y＝1380代入檢驗，滿足條件

所以其解析式為y＝20x＋300；

（2）①∵矩形材料板，其長寬之比為3：2，

∴當寬為x時，則長為1.5x，

c＝1.5kx2；k＝，

即c＝x2，

∴w＝x2＋20x＋300；

②由①可知：w＝x2＋20x＋300＝（x60）2＋900，

∴當材料板的寬為60cm時，一張材料板的利潤最大，最大利潤是900元．