Question

【題目】已知二次函數y＝x2+bx+c+1的圖象與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜x2，與y軸的負半軸交于點C．

（1）當b＝1時，求c的取值范圍；

（2）如果以AB為直徑的半圓恰好過點C，求c的值；

（3）在（2）的條件下，如果二次函數的對稱軸l與x軸、直線BC、直線AC的延長線分別交于點D、E、F，且滿足DE＝2EF，求二次函數的表達式．

Answer 1

【答案】（1）c＜﹣1；（2）c的值為﹣2；（3）y＝ ．

【解析】

（1）有兩個交點則△＝0，從而可解；

（2）直徑所對的圓周角為直角，再利用斜邊中線等于斜邊一半可解；

（3）由平行得相似，從而列比例式可解.

（1）已知二次函數y＝x2+bx+c+1的圖象與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0），當b＝1時，

令x2+bx+c+1＝0，則△＝b2﹣4（c+1）＝1﹣4c﹣4＞0

∴，

考慮點C在負半軸，則c+1＜0，

∴c＜﹣1．

當b＝1時，求c的取值范圍是c＜﹣1．

（2）∵C（0，c+1），

令x2+bx+c+1＝0，解得點A（，0），點B（，0），

如果以AB為直徑的半圓恰好過點C，則由直徑所對的圓周角為直角，得∠ACB＝90°，二次函數的對稱軸l與x軸交于點D，則D（，0），

∴CD＝，即，化簡得c2+3c+2＝0，

∴c＝﹣2或c＝﹣1（舍）．

答：c的值為﹣2．

（3）設EF＝k，DE＝2K，

∵DE∥OC，

∴△DEB～△OCB，

∴，

∴，

∵OC∥DF，

∴△AOC～△ADF

∴，

∴，

∵AD＝BD，

∴

又∵x1x2＝﹣1，

∴，

∴

∴二次函數的表達式為：．