Question

【題目】在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果點F與點A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如圖1，求∠EFD的度數；

（2）如果點F在線段AE上（不與點A重合），如圖2，問∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數量關系？并說明理由．

（3）如果點F在△ABC外部，如圖3，此時∠EFD與∠C﹣∠B的數量關系是否會發生變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，

∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=50°．

在△ACE中∠AEC=80°，

在Rt△ADE中∠EFD=90°﹣80°=10°

（2）解：∠EFD= （∠C﹣∠B）

證明：∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE= =90°﹣ （∠C+∠B）

∵∠AEC為△ABE的外角，

∴∠AEC=∠B+90°﹣ （∠C+∠B）=90°+ （∠B﹣∠C）

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°．

∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C）

∴∠EFD= （∠C﹣∠B）

（3）解：∠EFD= （∠C﹣∠B）．

如圖，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE= ．

∵∠DEF為△ABE的外角，

∴∠DEF=∠B+ =90°+ （∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°．

∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C）

∴∠EFD= （∠C﹣∠B）

【解析】（1）由三角形內角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分線的性質易得∠EAC的度數，可得∠EFD；（2）由角平分線的性質和三角形的內角和得出∠BAE=90°﹣ （∠C+∠B），外角的性質得出∠AEC=90°+ （∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形內角和定理可得∠EFD；（3）與（2）的方法相同．
【考點精析】本題主要考查了三角形的內角和外角和三角形的外角的相關知識點，需要掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能正確解答此題．