Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，且與AB的延長線交于點E．點C是弧BF的中點．

（1）求證：AD⊥CD；

（2）若∠CAD=30°．⊙O的半徑為3，一只螞蟻從點B出發，沿著BE--EC--弧CB爬回至點B，求螞蟻爬過的路程(π≈3.14，≈1.73，結果保留一位小數．)

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）11.3

【解析】

（1）連接OC，根據切線的性質得到OC⊥CD，證明OC∥AD，根據平行線的性質證明；

（2）根據圓周角定理得到∠COE=60°，根據勾股定理、弧長公式計算即可．

（1）連接OC．

∵直線CD與⊙O相切，∴OC⊥CD．

∵點C是的中點，∴∠DAC=∠EAC．

∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；

（2）∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圓周角定理得：∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3==π，∴螞蟻爬過的路程=3+3+π≈11.3．