Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N兩點分別從A，B兩點以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD邊上沿逆時針方向運動，其中有一點運動到點D即停止，當運動時間為_____秒時，△MBN為等腰三角形．

Answer 1

【答案】或（6-2）或

【解析】

分情況討論：①點M在AB上，點N在BC上時，BM＝BN，列出方程其解即可；②點M在BC上，點N在CD上時，表示出BM、CM、CN，再根據勾股定理列式表示出MN2，然后根據BM＝MN列出方程求解即可；③點M、N都在C、D上時，表示出MN、CM，再根據勾股定理分兩種情況列式表示出BM（或BN），然后根據BM＝MN（或BN＝MN）列出方程求解即可；④點M在AB上，點N在CD上時，根據等腰三角形的性質，CN＝BM，然后列式求解即可．

解：分情況討論：

①如圖1所示：

點M在AB上，點N在BC上時，t＜2，BM＝5﹣2t，BN＝t，

∵BM＝BN，

∴5﹣2t＝t，

解得t＝；

②如圖2所示：

點M在BC上，點N在CD上時，2.5＜t＜3.5，BM＝2t﹣5，CM＝2﹣（2t﹣5）＝7﹣2t，CN＝t﹣2，

在Rt△MCN中，MN2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2，

∵BM＝MN，

∴（2t﹣5）2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2，

整理得，t2﹣12t+28＝0，

解得：t1＝6﹣2 ，t2＝6+2（舍去）；

③如圖3所示：

點M、N都在C、D上時，t＞3.5，

若點M在點N的右邊，則CM＝2t﹣7，MN＝t﹣（2t﹣7）＝7﹣2t，

此時BM2＝（2t﹣7）2+22，

∵BM＝MN，

∴（2t﹣7）2+22＝（7﹣2t）2，無解，

若點M在點N的左邊，則CN＝t﹣2，MN＝（2t﹣7）﹣（t﹣2）＝t﹣5，

此時BN2＝（t﹣2）2+22，

∵BN＝MN，

∴（t﹣2）2+22＝（t﹣5）2，

整理得，t＝（不符合題意，舍去），；

④如圖4所示：

點M在AB上，點N在CD上時，BM＝5﹣2t，CN＝t﹣2，

由等腰三角形三線合一的性質，CN＝BM，

∴t﹣2＝（5﹣2t），

解得：t＝；

綜上所述，當運動時間為或（6﹣2）或秒時，△MBN為等腰三角形．

故答案為：或（6﹣2）或．