Question

【題目】已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．設BP=t．

（Ⅰ）如圖①，當∠BOP=300時，求點P的坐標；

（Ⅱ）如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）根據題意，∠OBP=90°，OB=6。

在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。

∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．

∴點P的坐標為（ ，6）。

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，

∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。

∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。

∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。

∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。

又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴。

由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11－t，CQ=6－m．

∴。∴（0＜t＜11）。

（Ⅲ）點P的坐標為（，6）或（，6）。

【解析】（Ⅰ）根據題意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。

（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，

△QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案。

（Ⅲ）首先過點P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的長，然后利用相似三角形的對應邊成比例與，即可求得t的值：

過點P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°。

∴∠PC′E+∠EPC′=90°。

∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A。

∴△PC′E∽△C′QA。∴。

∵PC′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，

∴。

∴。

∵，即，∴，即。

將代入，并化簡，得。解得：。

∴點P的坐標為（，6）或（，6）。