Question

【題目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是過點A的一條直線,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.

(1)當直線AE處于如圖①的位置時,有BD=DE+CE,請說明理由；

(2)當直線AE處于如圖②的位置時,則BD、DE、CE的關系如何？請說明理由；

(3)歸納(1)、(2),請用簡潔的語言表達BD、DE、CE之間的關系.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）BD=DE-CE

【解析】

此題考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰直角三角形的性質，利用了轉化及等量代換的思想，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．

（1）由BD垂直于AE，得到三角形ABD為直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余得到一對角互余，再由∠BAC=90°，得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，AB=AC，利用AAS可得出三角形ABD與三角形ACE全等，由全等三角形的對應邊相等得到AD=CE，BD=AE，由AE=AD+DE，等量代換即可得證；

（2）當直線AE處于如圖②的位置時，則BD、DE、CE的關系為BD=DE-CE，理由為：同（1）得出三角形ABD與三角形ACE全等，由全等三角形的對應邊相等得到AD=CE，BD=AE，由AE=DE-AD等量代換即可得證；

（3）由（1）（2）總結得到當D、E位于直線BC異側時，BD=DE+CE；當D、E位于直線BC同側時，BD=DE-CE．

解：（1）證明：∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，

∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD和△CAE中

∵

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴AD=CE，BD=AE，

∵AE=AD+DE，

∴BD=DE+CE；

（2）BD、DE、CE的關系為BD=DE-CE，理由為：

證明：在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴AD=CE，BD=AE，

∵AE=DE-AD，

∴BD=DE-CE；

（3）當D、E位于直線BC異側時，BD=DE+CE；當D、E位于直線BC同側時，BD=DE-CE．