Question

【題目】如圖，在邊長為5的菱形OABC中，sin∠AOC＝，O為坐標原點，A點在x軸的正半軸上，B，C兩點都在第一象限．點P以每秒1個單位的速度沿O→A→B→C→O運動一周，設運動時間為t（秒）．請解答下列問題：

（1）當CP⊥OA時，求t的值；

（2）當t＜10時，求點P的坐標（結果用含t的代數式表示）；

（3）以點P為圓心，以OP為半徑畫圓，當⊙P與菱形OABC的一邊所在直線相切時，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）t＝3；（2）P（t+2，t﹣4）；（3）t的值為秒或4秒或16秒或秒

【解析】

（1）如圖1，過點C作CP⊥OA，交x軸于點P．就可以求出OP的值，由勾股定理就可以求出的OP值，進而求出結論；
（2）t＜10時，P在OA或AB上運動，所以分兩種情況：①當0≤t≤5時，如圖1，點P在OA上，OP=t，可得P的坐標；②當5＜t＜10時，如圖2，點P在AB上，構建直角三角形，根據三角函數定義可得P的坐標；
（3）設切點為G，連接PG，分⊙P與四邊相切，其中P在AB和BC時，與各邊都不相切，所以分兩種情況：
①當P在OA上時，根據三角函數列式可得t的值；
②當P在OC上時，同理可得結論．

（1）如圖1，

當CP⊥OA時，sin∠AO

在Rt△OPC中，OC＝5，PC＝4，則OP＝3，

∴

（2）當0≤t≤5時，如圖1，點P在OA上，

∴P（t，0）；

當5＜t＜10時，如圖2，點P在AB上，

過P作PH⊥x軸，垂足為H，

則∠AOC＝∠PAH，

∴sin∠PAH＝sin∠AO

∴

∴

（3）設切點為G，連接PG，

分兩種情況：

①當P在OA上時，如圖3，

⊙P與直線AB相切，

∵OC∥AB，

∴∠AOC＝∠OAG，

∴sin∠AOC＝sin∠OA

∴

⊙P與BC相切時，如圖4，

則PG＝t＝OP＝4；

②當點P在OC上時，

⊙P與AB相切時，如圖5，

∴OP＝PG＝4，

∴4×5﹣t＝4，

t＝16，

⊙P與直線BC相切時，如圖6，

∴PG⊥BC，

∵BC∥AO，

∴∠AOC＝∠GCP，

∴sin∠AOC＝sin∠GC

∵OP＝PG＝20﹣t，

∴

∴

綜上所述，t的值