Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸相交于A（－1，0），B（5，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內(nèi)取一點(diǎn)C，作CD垂直x軸于點(diǎn)D，鏈接AC，且AD＝5，CD＝8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，求m的值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值為7或9（3）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）

【解析】試題（1）由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；

（2）由題意可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平移后的點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，則C′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，代入拋物線解析式可求得C′點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得平移的單位，可求得m的值；

（3）由（2）可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，連接BE交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過(guò)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí)，過(guò)Q作對(duì)稱軸的垂線，垂足為N，則可證得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到對(duì)稱軸的距離，則可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，由B、E的坐標(biāo)可求得線段BE的中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)Q（x，y），由P點(diǎn)的橫坐標(biāo)則可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，

∴OD=6，且CD=8，

∴C（﹣6，8），

設(shè)平移后的點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，則C′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，

代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，

∴C′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8）或（3，8），

∵C（﹣6，8），

∴當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，向右平移了7或9個(gè)單位，

∴m的值為7或9；

（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

∴拋物線對(duì)稱軸為x=2，

∴可設(shè)P（2，t），

由（2）可知E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8），

①當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí)，連接BE交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過(guò)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí)，過(guò)Q作對(duì)稱軸的垂線，垂足為N，如圖，

則∠BEF=∠BMP=∠QPN，

在△PQN和△EFB中

∴△PQN≌△EFB（AAS），

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，

設(shè)Q（x，y），則QN=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，

當(dāng)x=﹣2或x=6時(shí)，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；

②當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，

∵B（5，0），E（1，8），

∴線段BE的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），

設(shè)Q（x，y），且P（2，t），

∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入拋物線解析式可求得y=5，

∴Q（4，5）；

綜上可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．