Question

【題目】A、B、C 為數軸上三點，若點 C 到點 A 的距離是點 C 到點 B 的距離的 2倍，則稱點 C 是（A，B）的奇異點，例如圖 1 中，點 A 表示的數為﹣1，點B 表示的數為 2，表示 1 的點 C 到點 A 的距離為 2，到點 B 的距離為 1，則點C 是（A，B）的奇異點，但不是（B，A）的奇異點．

(1)在圖 1 中，直接說出點 D 是（A，B）還是（B，C）的奇異點；

(2)如圖 2，若數軸上 M、N 兩點表示的數分別為﹣2 和 4，（M，N）的奇異點 K 在 M、N 兩點之間，請求出 K 點表示的數；

(3)如圖 3，A、B 在數軸上表示的數分別為﹣20 和 40，現有一點 P 從點 B 出發，向左運動．

①若點 P 到達點 A 停止，則當點 P 表示的數為多少時，P、A、B 中恰有一個點為其余兩點的奇異點？

②若點 P 到達點 A 后繼續向左運動，是否存在使得 P、A、B 中恰有一個點為其余兩點的奇異點的情況？若存在，請直接寫出此時 PB 的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點D是（B，C）的奇異點，不是（A，B）的奇異點；（2）（M，N）的奇異點表示的數是2；（3）①點P表示的數是0或10或20時，P、A、B中恰有一個點為其余兩點的奇異點；②PB=120或180或90.

【解析】

（1）根據奇異點的定義和數軸上兩點間的距離，即可求出點D到點A的距離為1，到點B的距離為2，以及點D到點C的距離為1，就可以對點D做出判斷.

（2）設奇異點表示的數為x，根據奇異點的定義可得方程：x﹣（﹣2）=2（4﹣x）．從而求得x值.

(3)①當P在A、B兩點之間時，P、A、B中恰有一個點為其余兩點的奇異點需分類討論，具體分四種情況討論：當點P是（A，B）的奇異點時、當點P是（B，A）的奇異點時、當點A是（B，P）的奇異點時、當點B是（A，P）的奇異點時，計算方法同（1）.

②點P到達點A后繼續向左運動，是否存在使得P、A、B中恰有一個點為其余兩點的奇異點的情況方法同①分四種情況討論：當點P為（B，A）的奇異點時，PB=120；

當點A為（P，B）的奇異點時，PB=180；當點A為（B，P）的奇異點時，PB=90；

當點B為（P，A）的奇異點時，PB=120．

（1）在圖1中，點D到點A的距離為1，到點B的距離為2，

∴點D是（B，C）的奇異點，不是（A，B）的奇異點；

（2）設奇異點表示的數為x，

則由題意，得x﹣（﹣2）=2（4﹣x）．

解得x=2．

∴（M，N）的奇異點表示的數是2；

（3）①設點P表示的數為y．

當點P是（A，B）的奇異點時，

則有y+20=2（40﹣y），

解得y=20．

當點P是（B，A）的奇異點時，

則有40﹣y=2（y+20），

解得y=0．

當點A是（B，P）的奇異點時，

則有40+20=2（y+20），

解得y=10．

當點B是（A，P）的奇異點時，

則有40+20=2（40﹣y），解得y=10．

∴當點P表示的數是0或10或20時，

P、A、B中恰有一個點為其余兩點的奇異點．

②當點P為（B，A）的奇異點時，PB=120；

當點A為（P，B）的奇異點時，PB=180；

當點A為（B，P）的奇異點時，PB=90；

當點B為（P，A）的奇異點時，PB=120．