Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度沿拋物線的對稱軸向下運動，連OM，BM，設運動時間為t秒（t=0），在點M的運動過程中，當∠OMB=90°時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，

∴ ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x﹣2

（2）解：∵y=﹣ x2+ x﹣2=﹣ （x﹣2）2+ ，

∴D（2， ），

設M（2，m），

∵O（ 0，0），B（3，0），

∵∠OMB=90°，

∴OM2+BM2=OB2，

即m2+22+（3﹣2）2+m2=9，

∴m= ，

∵ ＞ ，

∴M（2，﹣ ），

∴DM= + ，

∴t= +

【解析】（1）把A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx﹣2，即可得到結果；（2）由y= x2+ x﹣2= （x﹣2）2+ ，得到D（2， ），設M（2，m），根據勾股定理列方程得到M（2，﹣ ），于是得到結論．
【考點精析】關于本題考查的拋物線與坐標軸的交點，需要了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能得出正確答案．