Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點；拋物線過，兩點，與軸交于另一點，拋物線的頂點為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上有一動點，求出點到直線的距離的最大值；

（3）如圖②，直線與拋物線的對稱軸相交于點，請直接寫出的平分線與軸的交點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先求出點坐標，點坐標，再利用待定系數法即可求出二次函數的解析式；

（2）過點作軸交于點，交軸于點，過作于，

則點到的距離為，利用得出，設，，表示出的長度表達式，進而得出的表達式，利用二次函數性質得出的最值；

（3）設的平分線為,過點作于點，交于點，根據角平分線分線段成比例得：，從而求出點的坐標，進而求出DP的關系式，從而得出P點坐標．

解：（1）在中，當時，；當時，，

點坐標為，點坐標為，

將，代入得

，解得

拋物線的解析式為

（2）過點作軸交于點，交軸于點，過作于，

則點到的距離為，

又，

，，

在中，，，

由勾股定理得，，

，，

設，，

則

當時，點到直線的距離的最大值為．

（3）

設的平分線為,過點作于點，交于點，

∵拋物線的解析式為，

∴，，

∴，，

根據角平分線分線段成比例得：，

∴，即：，

∵對稱軸是直線，

∴，

∴，

∴，

設的關系式為，

把，代入得：

，解得：，

∴的關系式為

令，得：，

∴．