Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．點D在直線CB上，以CA，CD為邊作矩形ACDE，直線AB與直線CE，DE的交點分別為F，G．

（1）如圖，點D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形．

①若點G為DE中點，求FG的長．

②若DG=GF，求BC的長．

（2）已知BC=9，是否存在點D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①FG =2；②BC=12；（2）等腰三角形△DFG的腰長為4或20或或．

【解析】（1）①只要證明△ACF∽△GEF，推出，即可解決問題；②如圖1中，想辦法證明∠1=∠2=30°即可解決問題；

（2）分四種情形：①如圖2中，當點D中線段BC上時，此時只有GF=GD，②如圖3中，當點D中線段BC的延長線上，且直線AB，CE的交點中AE上方時，此時只有GF=DG，

③如圖4中，當點D在線段BC的延長線上，且直線AB，EC的交點中BD下方時，此時只有DF=DG，如圖5中，當點D中線段CB的延長線上時，此時只有DF=DG，分別求解即可解決問題；

（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6，

中Rt△AEG中，AG=，

∵EG∥AC，

∴△ACF∽△GEF，

∴，

∴，

∴FG=AG=2．

②如圖1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，

∵EF=EF，

∴△AEF≌△DEF，

∴∠1=∠2，設∠1=∠2=x，

∵AE∥BC，

∴∠B=∠1=x，

∵GF=GD，

∴∠3=∠2=x，

在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，

∴x+（x+90°）+x=180°，

解得x=30°，

∴∠B=30°，

∴在Rt△ABC中，BC=．

（2）在Rt△ABC中，AB==15，

如圖2中，當點D中線段BC上時，此時只有GF=GD，

∵DG∥AC，

∴△BDG∽△BCA，

設BD=3x，則DG=4x，BG=5x，

∴GF=GD=4x，則AF=15-9x，

∵AE∥CB，

∴△AEF∽△BCF，

∴，

∴，

整理得：x2-6x+5=0，

解得x=1或5（舍棄）

∴腰長GD為=4x=4．

如圖3中，當點D中線段BC的延長線上，且直線AB，CE的交點中AE上方時，此時只有GF=DG，

設AE=3x，則EG=4x，AG=5x，

∴FG=DG=12+4x，

∵AE∥BC，

∴△AEF∽△BCF，

∴，

∴，

解得x=2或-2（舍棄），

∴腰長DG=4x+12=20．

如圖4中，當點D在線段BC的延長線上，且直線AB，EC的交點中BD下方時，此時只有DF=DG，過點D作DH⊥FG．

設AE=3x，則EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，

∴FH=GH=DGcos∠DGB=（4x+12）×=，

∴GF=2GH=，

∴AF=GF-AG=，

∵AC∥DG，

∴△ACF∽△GEF，

∴

∴，

解得x=或-（舍棄），

∴腰長GD=4x+12=，

如圖5中，當點D中線段CB的延長線上時，此時只有DF=DG，作DH⊥AG于H．

設AE=3x，則EG=4x，AG=5x，DG=4x-12，

∴FH=GH=DGcos∠DGB=，

∴FG=2FH=，

∴AF=AG-FG=，

∵AC∥EG，

∴△ACF∽△GEF，

∴，

∴，解得x=或-（舍棄），

∴腰長DG=4x-12=，

綜上所述，等腰三角形△DFG的腰長為4或20或或．