Question

【題目】在和中，，，，點，，分別是，，的中點，連接，．

（1）如圖①，，點在上，則 ；

（2）如圖②，，點不在上，判斷的度數，并證明你的結論；

（3）連接，若，，固定，將繞點旋轉，當的長最大時，的長為 （用含的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）

【解析】

（1）由AB=AC、AD=AE，得BD=CE，再根據G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，可得出PG∥BD，PF∥CE．則∠GPF=180°—=90°；

（2）連接BD，連接CE，由已知可證明△ABD≌△ACE，則∠ABD=∠ACE．因為G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，則PG∥BD，PF∥CE．進而得出∠GPF=180°—=120°；

（3）當D在BA的延長線上時，CE=BD最長，此時BD=AB+AD=5+2=7，再由三角形中位線定理即可算出PG=3.5，在Rt△GPH中，由三角函數的定義即可求出GH，進一步求出FG．

解：（1）∵AB=AC、AD=AE，

∴BD=CE，

∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，

∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，

∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC==90°，

即∠GPF=90°；

（2）∠FPG=120°，證明如下：

如圖，連接BD，連接CE．如圖②，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，

∴PG∥BD，PF∥CE，

∴∠PGC=∠CBD，

∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，

∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，

∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°—∠BAC=180°—=120°，

即∠GPF=120°；

（3）如圖，連結BD，CE，過P作PH⊥FG于H，

由（2）可知，△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，且，

當D在BA的延長線上時，CE最長，即BD最長，此時BD=AB+AD=5+2=7，

∴PG=3.5，

∵PF=PG，PH⊥FG，

∴，FG=2HG，

∴，

故答案為：．