Question

【題目】在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是（0，4）、（﹣1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′．

（1）若拋物線經過點C、A、A′，求此拋物線的解析式；

（2）點M時第一象限內拋物線上的一動點，問：當點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標；

（3）若P為拋物線上一動點，N為x軸上的一動點，點Q坐標為（1，0），當P、N、B、Q構成平行四邊形時，求點P的坐標，當這個平行四邊形為矩形時，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋3x＋4；（2）△AMA′的面積最大S△AMA′＝8，M（2，6）；（3）當P1（0，4），P2（3，4），P3（,－4），P4（，－4）時，P、N、B、Q構成平行四邊形；當這個平行四邊形為矩形時，N1（0，0），N2（3，0）.

【解析】試題分析：（1）先由OA′＝OA得到點A′的坐標，再用點C、A、A′的坐標即可求此拋物線的解析式；（2）連接AA′, 過點M 作MN⊥x軸，交AA′于點N,把△AMA′分割為△AMN和△A′MN, △AMA′的面積＝△AMA′的面積＋△AMN的面積＝OA′MN,設點M的橫坐標為x，借助拋物線的解析式和AA′的解析式，建立MN的長關于x的函數關系式，再據此建立△AMA′的面積關于x的二次函數關系式，再求△AMA′面積的最大值以及此時M的坐標；（3）在P、N、B、Q 這四個點中，B、Q 這兩個點是固定點，因此可以考慮將BQ作為邊、將BQ作為對角線分別構造符合題意的圖形，再求解.

試題解析：（1）∵平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′，點A的坐標是（0，4），∴點A′的坐標為（4，0），點B的坐標為（1，4）.

∵拋物線過點C，A，A′，設拋物線的函數解析式為y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,可得：

. 解得：.∴拋物線的函數解析式為y＝－x2＋3x＋4.

（2）連接AA′，設直線AA′的函數解析式為y＝kx＋b，可得

.解得：.

∴直線AA'的函數解析式是y＝－x＋4.

設M（x，－x2＋3x＋4），

S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4一（一x＋4）]＝一2x2＋8x＝一2（x－2）2＋8.

∴x＝2時，△AMA′的面積最大S△AMA′＝8．

∴M（2，6）.

（3）設P點的坐標為（x，－x2＋3x＋4），當P、N、B、Q構成平行四邊形時，

①當BQ為邊時，PN∥BQ且PN＝BQ，

∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4.

當一x2＋3x＋4＝4時，x1＝0，x2＝3，即P1（0,4），P2（3，4）；

當一x2＋3x＋4＝一4時，x3＝，x4＝，即P3（,－4），P4（，－4）；

②當BQ為對角線時，PB∥x軸，即P1（0，4），P2（3，4）;

當這個平行四邊形為矩形時，即Pl（0，4），P2（3，4）時，N1（0，0），N2（3，0）.

綜上所述，當P1（0，4），P2（3，4），P3（,－4），P4（，－4）時，P、N、B、Q構成平行四邊形；當這個平行四邊形為矩形時，N1（0，0），N2（3，0）.