Question

【題目】某數學活動小組在研究三角形拓展圖形的性質時，經歷了如下過程：

●操作發現

在等腰△ABC中，AB＝AC，分別以AB和AC為腰，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖①所示，連接DE，其中F是DE的中點，連接AF，則下列結論正確的是　 　（填序號即可）

①AF＝BC：②AF⊥BC；③整個圖形是軸對稱圖形；④DE∥BC、

●數學思考

在任意△ABC中，分別以AB和AC為腰，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖②所示，連接DE，其中F是DE的中點，連接AF，則AF和BC有怎樣的數量和位置關系？請給出證明過程

●類比探索

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為腰，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖③所示，連接DE，其中F是DE的中點，連接AF，試判斷AF和BC的數量和位置關系是否發生改變？并說明理由．

Answer 1

【答案】操作發現：①②③④；數學思考：AF＝BC，AF⊥BC，理由見解析；類比探索：AF和BC的數量和位置關系不發生改變，理由見解析

【解析】

操作發現：

如圖1，延長FA交BC于G，連接BF、CF．證明△FBA≌△FCA（SAS），得FB=FC，根據線段垂直平分線的逆定理可得FG是BC的垂直平分線，得②正確；

證明∠AFD≌△BGA（AAS），則AF=BGBC，得①正確；

根據內錯角相等兩直線平行，得④正確；

根據前面的證明可以得出整個圖形是軸對稱圖形，故③正確，數學思考：

結論：AFBC，AF⊥BC，如圖2，作輔助線，構建平行四邊形和三角形全等，證明四邊形DAEM是平行四邊形，得AD=EM=AB，AD∥EM，再證明△CAB≌△AEM（SAS），可得結論；

類比探索：

同理作輔助線，構建平行四邊形和全等三角形，同理可得結論．

操作發現：

如圖1，延長FA交BC于G．

∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，且∠BAD=∠CAE=90°，∴AB=AD，AC=AE．

∵AB=AC，∴AD=AE．

∵F是DE的中點，∴AF⊥DE，∠DAF=∠EAF，∴∠BAF=∠CAF．

∵AB=AC，AF=AF，∴△FBA≌△FCA（SAS），∴FB=FC，∴FG是BC的垂直平分線，即FG⊥BC，AF⊥BC，故②正確；

∵∠AGB=∠AFD=90°，∠BAG=∠FDA，∴∠AFD≌△BGA（AAS），∴AF=BGBC，故①正確；

∵∠AFD=∠AGC=90°，∴DE∥BC，故④正確；

根據前面的證明可以得出將圖形1，沿FG對折左右兩部分能完全重合，∴整個圖形是軸對稱圖形，故③正確，結論正確的有：①②③④．

故答案為：①②③④；

數學思考：

結論：AFBC，AF⊥BC，理由是：

如圖2，延長AF至M，使FM=AF，連接DM、EM，延長FA交BC于G．

∵DF=EF，∴四邊形DAEM是平行四邊形，∴AD=EM=AB，AD∥EM，∴∠DAE+∠AEM=∠DAE+∠BAC=180°，∴∠BAC=∠AEM．

∵AC=AE，∴△CAB≌△AEM（SAS），∴AM=BC=2AF，∠AME=∠CBA，即AFBC．

∵AD∥EM，∴∠DAM=∠AME=∠CBA．

∵∠BAD=90°，∴∠DAM+∠BAG=90°，∴∠CBA+∠BAG=∠AGB=90°，∴AF⊥BC；

類比探索：

AF和BC的數量和位置關系不發生改變，理由是：

如圖3，延長AF至M，使AF=FM，連接EM、DM，設AF交BC于N．

∵EF=DF，∴四邊形AEMD是平行四邊形，∴AE=DM=AC．

∵∠BAD+∠EAC=180°，∴∠BAC+∠EAD=180°．

∵AE∥DM，∴∠ADM+∠EAD=180°，∴∠ADM=∠BAC．

∵AB=AD，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM=BC=2AF，∠DAM=∠ABC，∴AFBC．

∵∠DAM+∠BAF=∠ABC+∠BAF=90°，∴∠ANB=90°，∴AF⊥BC．